2010年10月04日 09:36
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高一數(shù)學(xué)組
    圓錐曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)求某參數(shù)范圍問(wèn)題，已經(jīng)有許多文章進(jìn)行了論述。通常都是用函數(shù)思想、不等式的思想解決的。即引進(jìn)新參量，建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域或構(gòu)造關(guān)于參量的不等式，尋求參量的范圍。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題不僅可以用上述兩種思想解決，也可以用數(shù)形結(jié)合思想解決。設(shè)想尋求有關(guān)弦中點(diǎn)軌跡，通過(guò)軌跡曲線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍，下面舉幾例加以說(shuō)明。
例1：已知橢圓C： ，確定m的取值范圍，使C上有不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)L：y=4x+m對(duì)稱(chēng)。
解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)M(x0,y0)
則有     (1)   (2)
(1)-(2)得     
   A、B關(guān)于L對(duì)稱(chēng)
   KAB = 
  y0 = 6x0
于是以 為斜率的平行弦中點(diǎn)軌跡是直線(xiàn)y=6x在橢圓內(nèi)部的一段，不包括端點(diǎn)。
  與 聯(lián)立得兩交點(diǎn)A1( ),B1( )，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)與線(xiàn)段    有交點(diǎn)問(wèn)題。
由圖形知，當(dāng)L過(guò)A1點(diǎn)時(shí)，m最大值為  ，當(dāng)L過(guò)B1點(diǎn)時(shí)，m最小值為 - ，
 
例1的解法提供了一種解決此類(lèi)問(wèn)題的新思路，而且運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單，從圖形上可以直觀地看出結(jié)果，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的作用。那么此種想法是否適合其它曲線(xiàn)呢？回答是肯定的。
例2：曲線(xiàn)C：x-y2-2y=0上存在關(guān)于直線(xiàn)L:y=x+m對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)A、B，求m的取值范圍。
解：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中點(diǎn)M(x0,y0)，則有
 - -2 =0        ①
 - -2 =0        ②
①-②得  (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 
由題意知    x1-x20，上式兩端同除x1-x2，得
 
  A，B關(guān)于L對(duì)稱(chēng)
  KAB =  ，y0 =  ,x0 =  - m
于是以-1為斜率的平行弦中點(diǎn)軌跡為直線(xiàn)y = 在拋物線(xiàn)內(nèi)部的一條射線(xiàn)，不包括端點(diǎn)。
將y = 代入拋物線(xiàn)方程得交點(diǎn)P( , )，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)與射線(xiàn)y = (x> )有交點(diǎn)。
    將P點(diǎn)坐標(biāo)代入L方程得m = ，由圖形知，m取值范圍為
由例1、例2可以看出，若直線(xiàn)L斜率已知，則可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)與平行弦中點(diǎn)軌跡相交問(wèn)題處理，關(guān)鍵是尋求與已知直線(xiàn)垂直的平行弦中點(diǎn)軌跡，然后再利用數(shù)形結(jié)合求參量范圍。那么，這種解法可信度如何呢？我們看看上兩例，例1中當(dāng)L與A1B1有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)恰是與L垂直的弦中點(diǎn)，就保證了該弦兩端點(diǎn)關(guān)于L對(duì)稱(chēng)。所以只要L與平行弦中點(diǎn)軌跡有交點(diǎn)時(shí)，就能保證曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)關(guān)于L對(duì)稱(chēng)。
例3、已知橢圓C： ，確定k的范圍，使C上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)L： 對(duì)稱(chēng)。
解：設(shè) ， ， ，
當(dāng)k=0時(shí)， 不符題意，所以 ，
將A、B坐標(biāo)代入橢圓方程得
 (1)    (2)
(1)-(2)得     即
    
 ， 有
 ， 又M在L上，
 ， ，
于是以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡為 在橢圓內(nèi)部的一段A1B1，如圖，
將 代入橢圓方程得 ， 
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)與線(xiàn)段A1B1有交點(diǎn)，由圖形知
例4、已知L： 能垂直平分曲線(xiàn)C： 某一弦AB，求k范圍。
解：由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)k=0時(shí)，C上不存在A、B關(guān)于L對(duì)稱(chēng)，所以 ，
設(shè) ， ， ，
將A、B坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程得
   (1)      (2) 
(1)-(2)得  
 ，
 ， ， ，
又 在L上，
 ，
于是 ， ，消k得
  斜率為 的弦中點(diǎn)軌跡為 在拋物線(xiàn)內(nèi)部一段且過(guò)(1,1)點(diǎn)，如圖，
而L過(guò)定點(diǎn)(1,1)。當(dāng)L與 相切時(shí)得k=-2，由圖形知
例5、曲線(xiàn)C： 上存在關(guān)于L： 對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A、B，求k的范圍。
解：當(dāng)k=0時(shí)，L為x軸，由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性知 k=0不符合題意，
當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， ， ，
將A、B坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程得
 (1)      (2)
(1)-(2)得 ，
 ， ，
又  ， ，
以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡方程為x=-2，
直線(xiàn)x=-2與雙曲線(xiàn)、漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A1，B1，C1，D1，
由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可以看出，以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡應(yīng)是線(xiàn)段B1C1和以A1，D1為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)（在x=-2上），
L過(guò)定點(diǎn)C(-4 ，0)
 
由圖形知， 時(shí)，L與弦中點(diǎn)軌跡有交點(diǎn)，即C上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于L對(duì)稱(chēng)。
所以 
通過(guò)以上幾例可以看出，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決這類(lèi)問(wèn)題，可以使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化，并具有很強(qiáng)的直觀性，處理此類(lèi)問(wèn)題思路簡(jiǎn)單。最后筆者想說(shuō)的是，數(shù)學(xué)思想無(wú)處不在，只要我們注重挖掘，并能將其運(yùn)用于解題實(shí)踐，這樣將會(huì)給我們帶來(lái)無(wú)窮的樂(lè)趣。

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